随机矩阵极值特征值 Janossy 密度与联合分布的 Tracy-Widom 方法

行列式点过程的 Jánossy 密度是指区间 $I$ 恰好包含 $p$ 个点且除 $k$ 个指定位置上的点之外的那些点的概率密度。与可积核 $\mathbf{K}\doteq (\varphi(x)\psi(y)-\psi(x)\varphi(y))/(x-y)$ 相关的 Jánossy 密度被表示为变换后核 $\tilde{\mathbf{K}}\doteq (\tilde{\varphi}(x)\tilde{\psi}(y)-\tilde{\psi}(x)\tilde{\varphi}(y))/(x-y)$ 的 Fredholm 行列式 $\mathrm{Det}(\mathbb{I}-\tilde{\mathbf{K}}|_I)$。我们观察到，若 $\mathbf{K}$ 满足 Tracy 与 Widom 的判据，则 $\tilde{\mathbf{K}}$ 也满足，这是因为映射 $(\varphi, \psi)\mapsto (\tilde{\varphi}, \tilde{\psi})$ 是协变常截面之间的亚纯 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 规范变换这一结构。该观察使得 Tracy–Widom 方法可应用于 Jánossy 密度，其以区间端点处微分方程组的解表示。我们的方法不明确涉及先前工作中所用的与 Painlevé 方程相关的等单值系统。作为示例，我们计算了 Airy 核与 Bessel 核在 $k=1, p=0$ 时的 Jánossy 密度，它们分别关联于随机 Hermitian 矩阵两个最大特征值和随机复矩阵两个最小奇异值的联合分布。