无迹特征簇、链环手术谱序列与 Khovanov 同调

在 arXiv:1611.09927 中，我们通过所谓无迹 $\mathrm{SU}(2)$-特征簇的辛几何，为任意闭定向 $3$-流形 $Y$ 构造了一个良定义的拉格朗日 Floer 不变量。该不变量 $\mathrm{SI}(Y)$，我们称之为 $Y$ 的辛瞬子同调，也被证明满足纽结 Dehn 手术的精确三角形，这是 $3$-流形 Floer 理论不变量的典型性质。在本文中，我们展示了该辛瞬子同调的进一步结构性质。例如，Floer 理论被期望大致满足拓扑量子场论 (TQFT) 的公理，因此特别地它们应关于配边具有函子性。遵循 Ozsv\'ath 和 Szab\'o 在 Heegaard Floer 同调背景下使用的策略，我们证明我们的理论关于连通 $4$-维配边具有函子性，从而配边诱导辛瞬子同调之间的同态。我们还通过证明 $3$-流形 $Y$ 中链环 $L$ 的 Dehn 手术诱导出辛瞬子同调的谱序列，推广了手术精确三角形——其 $E^2$ 页同构于 $L$ 的各分支上 $0$-手术与 $1$-手术所有可能组合的辛瞬子同调的直和，且该谱序列收敛于 $\mathrm{SI}(Y)$。对于链环 $L \subset S^3$ 的分支二重覆盖 $\Sigma(L)$，我们证明存在一个链环手术谱序列，其 $E^2$ 页同构于 $L$ 的约化 Khovanov 同调，并收敛于 $\Sigma(L)$ 的辛瞬子同调。