Torelli 群、Johnson 核与同调球不变量

上世纪 80 年代末，人们证明了 Casson 不变量出现在 Torelli 群的两个滤子——下中心列与 Johnson 滤子——之差中，且其核心部分被确定为与首类 $\mathrm{MMM}$ 类在 Torelli 群上消失相关的次级特征类 $d_1$（不过后来表明 Johnson 很可能在上述之前已证明前一部分，见注 1.1）。该次级类 $d_1$ 是 $H^1(\mathcal{K}_g;\mathbb{Z})^{\mathcal{M}_g}\cong\mathbb{Z}$ 的有理生成元，其中 $\mathcal{K}_g$ 表示映射类群 $\mathcal{M}_g$ 的 Johnson 子群。Hain 作为其基础结果的特例证明了这是 2 次下唯一的差。本文中，我们证明除上述者外，在 6 次及以下无其他不变量给出两滤子的新有理差。我们应用此，通过计算 Dimca、Hain 与 Papadima 给出的描述，显式确定 $H_1(\mathcal{K}_g;\mathbb{Q})$。我们还证明，同调 $3$-球的 6 次及以下任意有限型有理不变量，包括第二与第三 Ohtsuki 不变量，均可由 $d_1$ 与 Johnson 同态的提升表出。