曲面丛中的上积、高阶Johnson不变量与MMM类

在本文中，我们证明了一系列结果，将计算曲面丛中的上积的问题与出现在映射类群 $\operatorname{Mod}_g$ 和Torelli群 $\mathcal{I}_g$ 的上同调理论中的各种其他对象联系起来。我们表明N. Kawazumi的扭曲MMM类 $m_{0,k}$ 可用于计算曲面丛中的k重上积，并且 $m_{0,k}$ 提供了高阶Johnson不变量 $\tau_{k-2}$ 到 $H^{k-2}(\operatorname{Mod}_{g,*}, \wedge^k H_1)$ 的推广。这些结果被用来证明偶MMM类 $e_{2i}$ 在 $H^{4i}(\mathcal{I}_g^1)$ 上的限制的行为完全由 $\operatorname{im}(\tau_{4i}) \le \wedge^{4i+2}H_1$ 决定，并给出对D. Johnson问题的部分回答。我们还使用这些思想表明所有具有在Johnson核 $\mathcal K_{g,*}$ 中的单值性的曲面丛具有同构于平凡丛的上同调环，意味着所有 $\tau_i$ 在限制到 $\mathcal K_{g,*}$ 时消失。