论曲面丛示性类的几何性质
几何拓扑
2013-03-13 v4 代数拓扑
摘要
每个 Morita--Mumford--Miller (MMM) 类 e_n 为每个亏格 g >= 2 的曲面丛 S_g -> E^{2n+2} -> M^{2n} 指定一个整数 e_n^#(E -> M) := <e_n,[M]> in Z。我们证明，当 n 为奇数时，数 e_n^#(E -> M) 仅依赖于 E 的微分同胚类型，而不依赖于 g、M 或映射 E -> M。更一般地，我们证明 e_n^#(E -> M) 仅依赖于 E 的配边类。Hatcher 最近的工作表明，当 n 为偶数时，这一更强的命题是不成立的。如果 E -> M 是复流形的全纯纤维化，我们证明对所有 n，数 e_n^#(E -> M) 仅依赖于 E 的复配边类型。我们给出了一般程序来构造以多种方式纤维化为曲面丛的流形，提供了无穷多个适用于我们定理的例子。作为我们结果的应用，我们给出了 Giansiracusa--Tillmann 最近一个定理有理情形的新证明，即对于任何界定手柄体丛的曲面丛，奇数 MMM 类 e_{2i-1} 均为零。我们展示了如何将 MMM 类视为低亏格纤维化的障碍。最后，我们讨论了由这项工作引出的一些开放问题。
引用
@article{arxiv.1103.0218,
title = {On the geometric nature of characteristic classes of surface bundles},
author = {Thomas Church and Benson Farb and Matthew Thibault},
journal= {arXiv preprint arXiv:1103.0218},
year = {2013}
}
备注
26 pages. v2: added examples to final section; v3: improved main theorem for complex fiberings; v4: final version, to appear in Journal of Topology