关于 Johnson 核的上同调群

有向曲面 $\Sigma_g$ 的映射类群 $\mathrm{Mod}_g$ 在 $\pi_1(\Sigma_g)$ 的下中心列上的作用定义了 $\mathrm{Mod}_g$ 中称为 Johnson filtration 的降滤子。其前两项为 Torelli 群 $\mathcal{I}_g$ 与 Johnson 核 $\mathcal{K}_g$。根据 Johnson（1985）的基本结果，$\mathcal{K}_g$ 是由所有关于分离曲线的 Dehn 扭曲生成的 $\mathrm{Mod}_g$ 子群。2007 年，Bestvina、Bux 与 Margalit 证明群 $\mathcal{K}_g$ 的上同调维数为 $2g-3$。我们证明顶层同调群 $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g)$ 非有限生成。事实上，我们证明它含有无限秩的自由交换子群，因此向量空间 $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g,\mathbb{Q})$ 是无限维的。此外，我们证明 $H_{2g-3}(\mathcal{K}_g,\mathbb{Q})$ 作为群环 $\mathbb{Q}[\mathcal{I}_g]$ 上的模非有限生成。