关于 Torelli 群的无穷生成同调

设 $\mathcal{I}_g$ 为亏格为 $g$ 的可定向闭曲面 $S_g$ 的 Torelli 群，即映射类群在 $S_g$ 的第一整同调群上作用的核。我们证明，只要 $g\ge 3$ 且 $2g-3\le k\le 3g-6$，$\mathcal{I}_g$ 的第 $k$ 个整同调群就包含一个无限秩的自由阿贝尔子群。此前，该性质仅对 $k=3g-5$（Bestvina, Bux, Margalit, 2007）以及在 $g=k=3$ 的特殊情况下（Johnson, Millson, 1992）为已知。我们还证明，若 $k+g$ 为偶数，超椭圆对合作用在 $\mathrm{H}_k(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ 中构造的无穷线性无关同调类系统上相当于乘以 $-1$，从而对 Hain 提出的一个问题给出了否定回答。对于 $k=2g-3$，我们证明群 $\mathrm{H}_{2g-3}(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ 包含一个由阿贝尔循环生成的无限秩自由阿贝尔子群，并显式构造了一个生成该子群的无穷阿贝尔循环系统。作为我们结果的推论，我们得到 $K(\mathcal{I}_g,1)$ 型的 Eilenberg--MacLane CW 复形不可能有有限的 $(2g-3)$-骨架。证明基于对 $\mathcal{I}_g$ 作用在 Bestvina、Bux 和 Margalit 构造的循环复形上的谱序列的研究。