Vakil--Zinger 调和空间的拓扑结构

我们为 Vakil--Zinger 构建的双曲偶序映射空间 $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 的有理 homology 生成集导出一组生成器，并对生成器之间的关系进行定性描述。结果建立在对调和空间分层结构的详细研究以及来自布尔--莫尔同调群上重量滤化约束的分析基础上，扩展了针对 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的先前研究技术。我们的结果表明，$\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 的偶维同调是 tautological 的，且由零维和简化一维 Gromov--Witten 理论控制。我们验证了 $\widetilde{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 的 Hodge 与 Tate 猜想，完全描述了其有理 Picard 群，并恢复了奇协调消失的已知结果。我们的技术还适用于一维稳定映射 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 的纯重量同调群。