多项式哈密顿微分系统等时中心的上同调性质

本文研究具有等时中心的 $n$ 次复多项式哈密顿微分系统的拓扑性质。首先，我们证明：若拥有等时中心的临界水平曲线仅含一个奇点，且周期 $1$-形式在充分接近临界曲线的水平曲线上于无穷远处无零留数极点，则该中心对应的消失圈在一般水平曲线射影闭包的1维同调群中是平凡的。我们的结果在相对简单的条件下对 L. Gavrilov 提出的一个问题给出了肯定回答，并可应用于给出 $\mathbb{C}^2$ 上 Jacobian 猜想的一个等价描述。其次，我们得到了哈密顿系统等时性的一个非常简单但有用的必要条件，即哈密顿函数的 $(n+1)$ 次部分必须具有重数不小于 $(n+1)/2$ 的因子。第三，我们展示了 Gavrilov 的问题与 X. Jarque 和 J. Villadelprat 提出的关于偶次 $n$ 实哈密顿系统非等时性的猜想之间的关系。