奇次数的平凡准时中心：双分支图景

我们重访了 Braun--Llibre--Mereu 获得的平面多项式哈密顿系统在次数 $5$ 和 $7$ 时的平凡准时中心的特征。我们正式化了他们方法所暗示的两个结论。首先，三角族在每 $n=2k-1\geq3$ 的奇数次数中产生平凡（甚至全局）准时中心。其次，一种真正不同的二次-剪切 ($Q$) 族恰好在 $n\equiv3\pmod 4$ 时出现，从 $n=7$ 开始，这解释了所观察到的\textquotedblleft 交替\textquotedblright 第二个分支的出现。对于 $n=9$，第二个分支无法出现是由于次数的奇偶性所致。我们的论点基于第七次证明的结构以及预印本中三角构造的一般化，以及标准准时性特征 $\mathcal{H}=\tfrac{1}{2}(f_{1}^{2}+f_{2}^{2})$ 于 $\det Df\equiv1$。