受反射对称性和跨帽态保护的拓扑相

扭曲对称性提供了一种诊断对称性保护拓扑 (SPT) 相的有效方法。在本文中，通过扭曲反射对称性，研究了受反射及其他对称性保护的 (2+1) 维拓扑相的边缘理论，这有效地将边缘理论置于非定向时空（如克莱因瓶）上。本文采取的一个关键技术步骤是使用所谓的跨帽态 (cross-cap states)，它完全编码了时空的非定向性质，并且可以通过重排时空几何并交换空间和时间坐标的角色来获得。当系统处于非平凡 SPT 相时，我们发现相应的跨帽态在 SPT 相的对称性作用下不是不变的，而是获得了一个反常相位。这个反常相位，在适当定义对称性平凡作用的参考态后，复现了已知的受反射对称性保护的 (2+1) 维玻色子和费米子 SPT 相的分类，特别是包括受反射和时间反演对称性保护的拓扑晶体超导体的 $\mathbb{Z}_8$ 分类。