X(n) 的拓扑 Hochschild 同调

我们证明 Ravenel 谱 $X(2)$ 是特征为 $\eta$ 的泛 $E_1$-$S$-代数。这意味着每个特征为 $\eta$ 的 $E_1$-$S$-代数 $R$ 容许一个 $E_1$-环映射 $X(2)\to R$，即一个 2 次 $\mathbb{A}_\infty$ 复定向。这意味着 $R^\ast(\mathbb{C}P^2)\cong R_\ast[x]/x^3$。此外，如果 $R$ 是一个 $\mathbb{E}_2$-环 Thom 谱，且容许一个来自 $X(2)$ 的映射（同伦环谱的映射），例如 $X(n)$，则其拓扑 Hochschild 同调有一个简单的描述。