用全局环谱实现 $\pi_\ast^e R$-代数

我们探讨在某一普适等变稳定同伦论——Schwede 的全局同伦论——中实现代数对象的问题。具体而言，对于全局环谱 $R$，我们考虑哪些类的环同态 $\eta_\ast\colon\pi_\ast^e R\rightarrow S_\ast$ 可由全局 $R$-模范畴中的映射 $\eta\colon R\rightarrow S$ 实现，以及可在 $S$ 上赋予何种乘法结构。若 $\eta_\ast$ 使 $S_\ast$ 成为投射 $\pi_\ast^e R$-模，则这样的 $\eta$ 作为同伦交换全局 $R$-代数之间的映射存在。若 $\eta_\ast$ 额外为 étale 或 $S_0$ 为 $\mathbb{Q}$-代数，则 $\eta$ 可分别提升为 $\mathbb{E}_\infty$-全局 $R$-代数或 $\mathbb{G}_\infty$-$R$-代数的映射。随后由经典同伦理论与代数构造获得了各种全局谱与 $\mathbb{E}_\infty$-全局环谱，且具有可控的全局同伦类型。