空气动力学refocusing的拓扑结论及其对 $Z^x$ 流形的应用

设 $(M,h)$ 为连通的、完整的黎曼流形，$x\in M$，且 $l>0$。若从 $x$ 开始的所有测地线返回到 $x$，则称 $M$ 为 $Z^x$ 流形；若从 $x$ 开始的每个单位速测地线在时间 $l$ 返回到 $x$，则称其为 $Y^x_l$ 流形。尚未知晓是否存在 $Z^x$ 流形但不存在任何 $l>0$ 的 $Y^x_l$ 流形的情况。依据B\'erard-Bergery 定理，维数至少为2的任何 $Y^x_l$ 流形都是紧致的且基本群为有限的。我们证明了对于所有单位速测地线从 $x$ 开始在均匀有界时间内返回到 $x$ 的 $Z^x$ 流形 $M$，同样具有紧致性且基本群为有限的性质。我们还证明，任何具有解析黎曼度量的 $Z^x$ 流形 $(M,h)$ 必为某个 $l>0$ 的 $Y^x_l$ 流形。我们首先定义了一类全局双曲时空（称为观察者refocusing），使得任何 $Z^x$ 流形都是某观察者refocusing 时空的 Cauchy 表面。随后我们证明，在适当条件下，观察者refocusing 时空的 Cauchy 表面为紧致且基本群为有限的；我们还展示了维数至少为3的解析观察者refocusing 时空是强refocusing的。最后，我们提出了一个类似于我们在黎曼几何和洛伦兹几何中所得结果的接触几何猜想。