流形的留数

流形 $X$ 的 Riesz $z$-能量是在积空间 $X\times X$ 上对两点间距离的 $z$ 次幂的积分。将其视为复变量 $z$ 的函数，可通过解析延拓推广为亚纯函数，我们称之为 $X$ 的亚纯能量函数。它仅在某些负整数处有单极点。流形 $X$ 的留数是该亚纯能量函数的留数。例如，$\mathbb{R}^3$ 中曲面的体积与 Willmore 能量可作为留数得到。本文中我们首先证明欧几里得空间中闭子流形或紧体的留数在 $z=-2\dim X$ 处的 M"obius 不变性。我们引入紧体的相对留数与加权留数，并证明维数小于 $4$ 的紧体的体积、标量曲率、平均曲率以及欧拉示性数可用留数与局部留数表示。我们研究了当 $X$ 为欧几里得空间闭子流形时，为得到（全局）留数所需的 $X$ 的局部定义函数的微分阶数。我们还展示了容斥原理。留数看似与由渐近展开得到的量（如内蕴体积（Lipschitz-Killing 曲率）、拉普拉斯谱以及 Graham-Witten 能量）相似。我们证明留数与它们无关。最后我们引入 $\mathbb{R}^5$ 中 $4$ 维超曲面的一个 M"obius 不变主曲率能量，并将 Graham-Witten 能量用留数、Weyl 张量与这一 M"obius 不变主曲率能量表示。