Grothendieck 与 Lascoux 多项式的最高次分量

对于 $w \in S_n$，Castelnuovo-Mumford 多项式 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ 是 Grothendieck 多项式 $\mathfrak{G}_w$ 的最高齐次分量。Pechenik、Speyer 和 Weigandt 在 $S_n$ 上定义了一种统计量 $\mathsf{rajcode}(\cdot)$，它给出 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ 的首单项式。我们通过一种组合构造“雪图”在任何图 $D$ 上引入统计量 $\mathsf{rajcode}(\cdot)$，该构造对 $D$ 进行扩充与装饰。当 $D$ 是一个置换 $w$ 的 Rothe 图时，$\mathsf{rajcode}(D)$ 与前述 $\mathsf{rajcode}(w)$ 一致。当 $D$ 是一个弱组合 $\alpha$ 的键图时，$\mathsf{rajcode}(D)$ 给出 $\widehat{\mathfrak{L}}_\alpha$ 的首单项式，即 Lascoux 多项式 $\mathfrak{L}_\alpha$ 的最高齐次分量。我们利用 $\widehat{\mathfrak{L}}_\alpha$ 构造了 $\widehat{V}_n$ 的一组基，即由 $w \in S_n$ 的 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ 张成的空间。然后我们表明 $\widehat{V}_n$ 给出了 Bell 数的经典 $q$-类比的自然代数解释。