AdS$_{2}$ 中的 Toda 理论与边界关联函数的 $\mathcal WA_{n}$-代数结构

我们考虑 AdS$_{2}$ 中的共形 $A_{n}$ Toda 理论。由于体全 Virasoro 对称性，该系统提供了一个非引力 $\text{AdS}_{2}$/$\text{CFT}_{1}$ 对应的实例，其中一维边界理论具有增强的“$\frac{1}{2}$-Virasoro”对称性。一般边界关联函数预期可由合适的 $\mathcal WA_{n}$ Virasoro 扩张中手性关联函数的限制来刻画。在弱耦合展开的次领头阶，它们被猜想与对偶 $\mathcal WA_{n}$ 关联函数在大中心荷展开中的次领头项相匹配。我们在 Toda 标量场的边界四点函数上显式检验了这一猜想，这些标量场对偶于自旋为次最小的 3 和 4 的 $\mathcal WA_{n}$ 生成元。我们的分析在一般秩情形下成立，并推广了先前针对特定秩-2 Toda 理论的结果。在 AdS 一侧，该推广是直接的，只需计算有限组树级 Witten 图。这归因于三次和四次耦合的简单秩依赖性与选择定则。在边界上，通过利用交叉对称性和 $\mathcal W$-代数关联函数在大中心荷下的特定亚纯性质，使得 CFT 计算可行。我们给出了任意秩下所需的四点函数的闭式表达，并详尽验证了体-边界对应。