含时 Pólya urn

我们考虑一个含黑白球且含时的 Pólya urn 模型。在每一时刻 $n$,从 urn 中随机抽出一球,并将其与同色的 $\sigma_n$ 个附加球一起放回 urn 中。白球比例几乎必然收敛于随机极限 $\Theta$,且 $\mathcal{D}=\{\Theta\in\{0,1\}\}$ 表示某一种颜色占据主导的事件。关于序列 $(\sigma_n)$ 在 ${\mathbb P}(\mathcal{D})=1$ 与 ${\mathbb P}(\mathcal{D})<1$ 两种情形之间的相变由 R. Pemantle 于 1990 年给出。我们描述了 ${\mathbb P}(\mathcal{D})=0$ 与 ${\mathbb P}(\mathcal{D})>0$ 情形之间的相变。进一步,我们研究更强的垄断事件 $\mathcal{M}$,即某一种颜色最终停止再现,并分析了 ${\mathbb P}(\mathcal{M})=0$、${\mathbb P}(\mathcal{M})\in (0,1)$ 与 ${\mathbb P}(\mathcal{M})=1$ 各情形之间的相变。