周期型波利亚 urn 及其在杨表上的应用

波利亚 urn 是指这样一种 urn：在每个时间单位抽取一个球，并根据其颜色用若干其他球将其替换。我们引入一个更一般的模型：替换规则依赖于所抽球的颜色以及时间值（模 p）。我们讨论了与刻画这些 urn 演化的生成函数相关的微分算子的一些引人入胜的性质。最初的偏微分方程确实导出了常线性微分方程，并且我们证明了矩生成函数是 D-有限的。对于一类子类，我们给出了相应生成函数的闭式表达（给出时刻 n urn 的精确状态）。当时间趋于无穷时，我们证明这些周期型波利亚 urn 呈现出丰富多样的行为：它们的渐近涨落由一族分布——广义 Gamma 分布——描述，该分布也可视为 Gamma 分布的幂。顺便，我们建立了与其他组合对象的一些计数联系，并给出了一个关于杨表渐近性的新结果的应用：该方法使我们能够证明三角杨表中右下角的分布在渐近意义下服从广义 Gamma 分布的乘积。