三维 Ising 界面中最大值的有界性与尾部性质

考虑边长为 $n$ 的盒子上的三维 Ising 模型，在 $xy$ 平面上方取负边界条件、下方取正边界条件。低温下，Dobrushin（1972）证明分隔以正自旋为主与以负自旋为主区域的界面是局域化的：其在固定点之上的高度具有指数尾部。近来，作者证明了该界面最大高度 $M_n$ 的大数定律：对每个足够大的 $\beta$，当 $n\to\infty$ 时 $M_n/ \log n\to c_\beta$ 依概率成立。此处我们证明中心化极大值序列 $(M_n - \mathbb{E}[M_n])_{n\geq 1}$ 的定律是一致有界的。此外，尽管该序列不收敛，我们证明它具有一致的上、下 Gumbel 尾部（指数右尾与双指数左尾）。证明的关键在于对曲面大偏差的精细（精确到 $O(1)$）理解。这尤其包括了达到近最大高度的柱体的形状，即使在其底部——那里与相邻柱体的相互作用占主导——也是如此。