双曲域中随机游走的三个面貌：BKT、Lifshitz尾部与KPZ

我们表明，连续随机游走（扩散）于Poincaré双曲上半平面$\mathbb{H}^2 = \{(x,y)|y>0\}$提供了三看似无关现象的统一描述：（i）关联长度在Berezinskii--Kosterlitz--Thouless (BKT) 相变处的非解析发散；（ii）受约束于不可渗透圆盘周围的拉伸随机游走的波动行为中出现Kardar--Parisi--Zhang (KPZ) 指数；（iii）在1D稀有事件统计中出现Lifshitz尾部（LT）。我们将最初用于描述二维 conformally 不变势中Efimov效应的重整�群方程推广到$\mathbb{H}^2$中的扩散问题，从而再现BKT型关联长度的发散。在同一模型框架下，我们推导了针对$\mathbb{H}^2$边界附近拉伸随机游走存活概率的KPZ型行为，采用尺度论 argument、WKB型方法和数值分析。在演示LT自然出现于$\mathbb{H}^2$中确定性大偏差随机游走统计中的instanton 方法所得结果时，我们展示了这与在具有泊松分布的数组陷阱中1D扩散的稀有事件行为相呼应。我们推断，负责BKT类物理的路径统计的主导贡献来自被推向大偏差拉伸 regime的轨迹。