(Theta, 三角形)-自由与(偶洞, $K_4$)-自由图。第二部分：树宽的界

一个 theta 图由三条内部顶点不交的无弦路 $P_1 = a \dots b$、$P_2 = a \dots b$、$P_3 = a \dots b$ 组成，其长度至少为 2，且除与 $a$ 关联的三条边和与 $b$ 关联的三条边外，路之间不存在边。一个 pyramid（棱锥）由三条无弦路 $P_1 = a \dots b_1$、$P_2 = a \dots b_2$、$P_3 = a \dots b_3$ 组成，长度至少为 1，其中两条长度至少为 2，除 $a$ 外顶点不交，且 $b_1b_2b_3$ 为一个三角形，除三角形边和与 $a$ 关联的三条边外，路之间不存在边。一个偶洞（even hole）是偶长度的无弦圈。对三个非负整数 $i\leq j\leq k$，令 $S_{i,j,k}$ 为带一个顶点 $v$ 的树，从 $v$ 出发有三条分别含 $i$、$j$、$k$ 条边的路。我们以 $K_t$ 表示 $t$ 个顶点上的完全图。我们证明对所有非负整数 $i, j, k$，不含 theta、不含 $K_3$、且不含 $S_{i, j, k}$ 作为诱导子图的图类具有有界树宽。我们证明对所有非负整数 $i, j, k, t$，不含偶洞、不含 pyramid、不含 $K_t$、且不含 $S_{i, j, k}$ 作为诱导子图的图类具有有界树宽。为界定树宽，我们证明每个大树宽的图必含一个大团或基数很大的极小分离集。