树中边相交非分裂路径的图：洞的表示（第二部分）

给定一棵树和其上一组非平凡简单路径 $P$，$VPT(P)$ 是路径 $P$ 的 VPT 图（即顶点相交图），$EPT(P)$ 是 $P$ 的 EPT 图（即边相交图）。这些图在文献中已被广泛研究。给定图中两条（边）相交的路径，它们的分裂顶点（split vertices）是指在其并集中度数至少为 3 的顶点集合。如果一对（边）相交路径没有分裂顶点（即它们的并是一条路径），则称其为非分裂的。我们将树的边相交非分裂路径图定义为 ENPT 图，记为 $ENPT(P)$，该图的每个顶点对应 $P$ 中的一条路径，且当且仅当两条路径既边相交又非分裂时，其对应顶点之间连有一条边。如果存在一棵树 $T$ 和 $T$ 的一组路径 $P$ 使得 $G=ENPT(P)$，则称图 $G$ 为 ENPT 图，并称 $<T,P>$ 为 $G$ 的一个表示。我们的目标是刻画无弦 ENPT 圈（洞）的表示。为实现这一目标，我们首先假设由 ENPT 洞的顶点诱导出的 EPT 图是已知的。在文献 [2] 中，我们引入了定义在 EPT、ENPT 图对上的三个假设 (P1)、(P2)、(P3)。在同一研究中，我们定义了两个问题 HamiltonianPairRec 和 P3-HamiltonianPairRec，并刻画了满足 (P1)、(P2)、(P3) 的 ENPT 洞的表示。在本文中，我们继续这项工作，逐一放宽这三个假设。我们通过提供求解 P3-HamiltonianPairRec 的多项式时间算法，刻画了满足 (P3) 的 ENPT 洞的表示。我们还证明，除非 P=NP，否则不存在求解 HamiltonianPairRec 的多项式时间算法。