Halin图的VPG与EPG弯曲数

平面中由 $k+1$ 条线段组成的分段线性曲线，每条线段或为水平或为垂直，且相邻线段朝向不同，称为 $k$-bend path。给定图 $G$，一组 $k$-bend paths，其中每条路径对应 $G$ 的一个顶点，且两条路径有公共点当且仅当对应顶点在 $G$ 中相邻，称为 $G$ 的 $B_k$-VPG 表示。类似地，一组 $k$-bend paths，每条对应 $G$ 的一个顶点，若任意两条路径有一段非零长度的线段公共当且仅当对应顶点相邻，则称为 $G$ 的 $B_k$-EPG 表示。图 $G$ 的 VPG 弯曲数 $b_v(G)$ 是使得 $G$ 有 $B_k$-VPG 表示的最小 $k$。类似地，图 $G$ 的 EPG 弯曲数 $b_e(G)$ 是使得 $G$ 有 $B_k$-EPG 表示的最小 $k$。Halin 图是指取一棵无 2 度顶点的树，将其叶子连接成圈，使得图具有平面嵌入所形成的图。我们证明若 $G$ 是 Halin 图，则 $b_v(G) \leq 1$ 且 $b_e(G) \leq 2$。这些界是紧的。事实上，我们证明了更强的结论：若 $G$ 是通过连接任意树的叶子形成简单圈而构成的平面图，则它有一个仅使用一种类型 1-bend paths 的 VPG 表示，以及一个仅使用一种类型 2-bend paths 的 EPG 表示。