Lorentz 氤 gas 与 hopping 模型的热力学形式化及局域化

热力学形式化将动力学系统的混沌性质表述为 Ruelle 压力 $\psi(\beta)$。逆温度变量 $\beta$ 允许扫描动力学相空间中概率分布的结构。本文应用于 Lorentz 晶格气体，其中在随机位置放置的散射器与位于晶格上的粒子发生碰撞。我们给出严谨论证，指出无限系统中 Ruelle 压力具有两个分支，在 $\beta=1$ 处呈斜率不连续。低 $\beta$ 分支对应于轨迹局域于“最混沌”（最高密度）区域，高 $\beta$ 分支对应于轨迹局域于“最确定性”（最低密度）区域，即 $\psi(\beta)$ 完全由散射器在晶格上的稀有波动所控制，不携带关于静态无序全局结构的信息。随 $\beta$ 趋近于 1，局域化-脱局化转变导致轨迹延拓，携带有关传输性质的信息。在有限 $L$ 时，$\beta=1$ 附近轨迹延拓的窄区域规模为 $(\ln L)^{-\alpha}$，其中 $\alpha$ 取决于 $1-\beta$ 的符号（若 $d>1$），或为 $(L\ln L)^{-1}$（若 $d=1$）。该结果似乎适用于具有静态无序的扩散系统，如随机环境中的随机游走或连续 Lorentz 氤 gas。其他显示相同现象的无序晶格随机游走模型也被讨论。