随机 Allen-Cahn 问题约束情形下有限体积格式的理论分析

本文旨在研究时空离散化格式对带约束且受 Itô 型乘性噪声扰动的 Allen-Cahn 问题的收敛性。该问题设定在有界域 $\mathbb{R}^d$ 中（$d=2$ 或 $3$），并考虑齐次 Neumann 边界条件。所采用的策略是构建一个基于 Moreau-Yosida 正规化约束问题的数值格式，并同时对正规化参数、时间步长和空间步长（分别记为 $\epsilon$、$\Delta t$ 和 $h$）进行极限过程。通过将半隐式 Euler-Maruyama 时间离散与用于空间变量的两点通量近似（TPFA）格式相结合，在假设时间步长满足 $\Delta t=\mathcal{O}(\epsilon^{2+\theta})$（其中 $\theta>0$）的条件下，能够证明该 $(\epsilon, \Delta t, h)$ 格式收敛于初始问题的唯一弱解。该收敛结果在 $L^2(\Omega;L^2(0,T;L^2(\Lambda)))$ 空间下严格收敛，同时在 $L^{p}(0,T; L^2(\Omega\times \Lambda))$ 空间下也能得到较强的后验收敛性（其中 $p\geq 1$ 为任意有限数）。