带复乘法的椭圆曲线上阿贝尔扩张的 Dobrowolski–Laurent 定理

设 E/K 为具有复乘法的椭圆曲线，令 $K^{ab}$ 为 $K$ 的阿贝尔闭包。我们在本文中证明存在常数 $c(E/K)$ 使得：对所有点 $P\in E(\bar{K})-E_{tors}$，有 $$\hat{h}(P)\geq\frac{c(E/K)}{D}(\frac{\log \log 5D}{\log 2D})^{13},$$ 其中 $D=[K^{ab}(P):K^{ab}]$。该结果将 Amoroso–Zannier \cite{AZ} 关于乘法群 $\mathbb{G}_m$ 上类似问题的先前结果推广到具有复乘法的椭圆曲线情形，并将 Baker \cite{baker} 关于定义在具有复乘法的椭圆曲线的阿贝尔扩张上的点的 Néron–Tate 高度下界的结论推广到次数为 D 的扩张情形。此结果也使我们能够简化 Viada \cite{viada} 一个定理的证明。