带边界三维流形上的杨-米尔斯热半群

本文证明了在具有光滑边界的紧致三维流形上杨-米尔斯热方程解的长时间存在性与唯一性。初始数据取为 Sobolev 空间 $H_1$ 中的李代数值联络形式。探讨了三种边界条件：Dirichlet 型、Neumann 型和 Marini 边界条件。后者是一种非线性边界条件，通过在边界上设定曲率的法向分量为零来指定。杨-米尔斯热方程是一个弱抛物型非线性方程。我们使用 Donaldson 和 Sadun 的技术将其转化为抛物型方程，然后将该抛物型方程的解通过规范变换还原为原方程的解。首先建立 Gaffney-Friedrichs 不等式的规范不变版本来发展先验估计。还建立了解的规范不变正则化程序。由于弱抛物性，只需对联络形式的三个分量中的两个施加边界条件即可保证唯一性。本工作的动机是量子场理论的潜在应用。