高维 Yang-Mills 热流的非自相似爆破解

本文考虑 $\mathbb R^d \times SO(d)$ 上 $d \ge 11$ 的 Yang-Mills 热流。在流保持的某种对称性下,Yang-Mills 方程可化简为:$$\partial_t u =\partial_r^2 u +\frac{d+1}{r} \partial_r u -3(d-2) u^2 - (d-2) r^2 u^3, \text{ 且 } (r,t) \in \mathbb R_+ \times \mathbb R_+.$$ 我们关注该抛物型方程的奇点形成描述。我们构造了 $d \ge 11$ 的非自相似爆破解,并证明解的渐近形式为 $$u(r,t) \sim \frac{1}{\lambda_\ell(t)} \mathcal{Q} \left( \frac{r}{\sqrt{\lambda_\ell (t)}} \right), \text{ 当 } t \to T ,$$ 其中 $\mathcal{Q}$ 是满足边界条件 $\mathcal{Q}(0)=-1, \mathcal{Q}'(0)=0$ 的基态,且爆破速度 $\lambda_\ell$ 满足 $$\lambda_\ell (t) = \left( C(u_0) +o_{t\to T}(1) \right) (T-t)^{\frac{2\ell }{\alpha}} \text{ 当 } t \to T,~~ \ell \in \mathbb{N}^*_+, ~~\alpha>1.$$ 特别地,当 $\ell = 1$ 时该渐近稳定,而当 $\ell \ge 2$ 时其在余维数 $\ell-1$ 的空间上稳定。我们的方法不基于能量估计,而是基于对时变特征向量与特征值的精细构造,并结合最大值原理与半群逐点估计。