重整化体积与三维凸核的 Weil-Petersson 梯度流

在本文中，我们利用重整化体积的 Weil-Petersson 梯度流来研究相对无柱三维流形 $(N;S)$ 上凸余紧双曲结构空间 $CC(N;S,X)$。感兴趣的案例包括无柱流形的形变空间以及与固定曲面相关的拟 Fuchsian 空间的 Bers 切片。为处理沿流线退化为周边尖点结构的可能性，我们引入一种手术过程以产生一种手术梯度流，其极限为唯一结构 $M_{\rm geod} \in CC(N;S,X)$，该结构具有面向 $S$ 的全测地凸核边界。通过分析沿流线的结构几何，我们证明若 $V_R(M)$ 为 $M$ 的重整化体积，则 $V_R(M)-V_R(M_{\rm geod})$ 由 Weil-Petersson 距离 $d_{\rm WP}(\partial_c M, \partial_c M_{\rm geod})$ 的线性函数从下方界定，其常数仅依赖于 $S$ 的拓扑。该手术流为双曲三维流形研究中的若干问题提供了统一方法，给出了诸如 Storm 关于当 $N$ 无柱时 $M_{\rm geod}$ 具有最小体积的结果，以及第二作者关于拟 Fuchsian 流形凸核体积与 Weil-Petersson 距离比较结果的著名定理的新证明与推广。