增强超立方体直径的脆弱性

对于互连网络 $G$，${\it \omega}$-宽直径 $d_\omega(G)$ 是指任意两个顶点由长度至多为 $\ell$ 的 $\omega$ 条内部不相交路径连接的最小 $\ell$，而 $(\omega-1)$-故障直径 $D_{\omega}(G)$ 是指从 $G$ 中删除少于 $\omega$ 个顶点所得子图的最大直径。增强超立方体 $Q_{n,k}$ 是著名超立方体的一种变体。Yang, Chang, Pai, 和 Chan 给出了 $d_{n+1}(Q_{n,k})$ 和 $D_{n+1}(Q_{n,k})$ 的上界，并提出了求 $Q_{n,k}$ 宽直径和故障直径的问题。通过在增强超立方体中构造任意两顶点间的内部不相交路径，对于 $n\ge3$ 且 $2\le k\le n$，我们证明 $$D_\omega(Q_{n,k})=d_\omega(Q_{n,k})=\begin{cases} d(Q_{n,k}) & \textrm{for $1 \leq \omega < n-\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$;}\\ d(Q_{n,k})+1 & \textrm{for $n-\lfloor\frac{k}{2}\rfloor \leq \omega \leq n+1$.} \end{cases}$$ 其中 $d(Q_{n,k})$ 是 $Q_{n,k}$ 的直径。这些结果表明以增强超立方体建模的互连网络极其鲁棒。