增广 $k$ 元 $n$ 立方的强门格尔连通性

若对图 $G$ 的任意两个不同顶点 $x,y$，在 $x$ 与 $y$ 之间存在 $\min \{{\rm deg}_G(x), {\rm deg}_G(y)\}$ 条顶点（边）不相交路，则称连通图 $G$ 为强门格尔（边）连通的。本文考虑增广 $k$ 元 $n$ 立方 $AQ_{n,k}$ 的强门格尔（边）连通性，它是 $k$ 元 $n$ 立方 $Q_n^k$ 的一个变体。通过探究 $AQ_{n,k}$ 的拓扑性质，我们证明：当 $n\geq 4$ 时 $AQ_{n,3}$（相应地，当 $n\geq 2$ 且 $k\geq 4$ 时 $AQ_{n,k}$）在存在 $4n-9$（相应地 $4n-8$）个故障顶点时仍是强门格尔顶点连通的，且当 $n\geq 2$ 且 $k\geq 3$ 时 $AQ_{n,k}$ 在存在 $4n-4$ 个故障边时仍是强门格尔边连通的。此外，在每个顶点至少有两个无故障边的限制条件下，我们证明当 $n\geq 2$ 且 $k\geq 3$ 时 $AQ_{n,k}$ 在存在 $8n-10$ 个故障边时仍是强门格尔边连通的。这些结果在可容忍顶点（相应地边）故障数的最大值意义下均为最优。