树的 undirected optical index

对于连通图 $G$，一个实例 $I$ 是顶点对的集合，相应的路由 $R$ 是为 $I$ 中所有顶点对指定的一组路径。令 $\mathfrak{R}_I$ 为关于 $I$ 的所有路由的集合。图 $G$ 关于 $I$ 的 undirected optical index 是指最小整数 $k$，使得对所有路由 $R\in\mathfrak{R}_I$，存在映射 $\phi:R\to\{1,2,\ldots,k\}$，满足若 $P$ 与 $P'$ 有公共边则 $\phi(P)\neq\phi(P')$。undirected optical index 的一个自然下界是边转发指数，其定义为在所有可能路由中最大边负载的最小值。令 $w(G,I)$ 和 $\pi(G,I)$ 分别表示关于 $I$ 的 undirected optical index 和边转发指数。本文中，我们推导出对任意树 $T$ 有不等式 $w(T,I_A)<\frac{3}{2}\pi(T,I_A)$，其中 $I_A:=\{\{x,y\}:\,x,y\in V(T)\}$ 为全连接实例。