固定直径树状图和单环图的最大逆求和度数指数

图 $G$ 的键 incident 度数 (BID) 指数定义为 $\BID(G) = \sum_{u_1u_2\in E(G)} f(d(u_1), d(u_2))$，其中 $f(x,y)=f(y,x)$ 为实值函数。本文采用图变换方法，建立针对固定直径的树状图和单环图的键 incident 度数指数的 maximum 值。其中，逆求和度数 (ISI) 指数对应的函数为 $f(x,y) = \frac{xy}{x+y}$。我们证明对于直径 $d \geq 3$ 且 $n \geq d+3$ 的树 $T \in \mathbb{T}_{n,d}$，最大 ISI 指数由树 $T_{n,d}^*$ 取得。对于单环图，我们分别给出直径 $d=2$, $d=3$，以及 $d \geq 4$ 时的极值图的特征。具体而言，$d=2$ 时的最大 ISI 指数由 $S_n^+$ 取得，$d=3$ 时由 $C_n^*$ 取得，$d \geq 4$ 时由 $\mathcal{U}_{n,d}$ 取得。