三次四维流形的超越动机

在这篇笔记中，我们引入三次四维流形 $X$ 的动机的超越部分 $t(X)$，并证明在 Fano 直线簇 $F(X)$ 的动机的适当 Chow-Künneth 分解中，它同构于（扭曲的）超越部分 $h_2^{tr}(F(X))$。然后我们证明 $t(X)$ 同构于与曲面 $S_l \subset F(X)$（即与一条一般直线 $l$ 相交的直线组成的曲面）关联的 Prym 动机。如果 $X$ 是 Hodge 理论意义上的特殊三次四维流形，且 $F(X)\cong S^{[2]}$，其中 $S$ 是一个 $K3$ 曲面，则我们证明 $t(X) \cong t_2(S)(1)$，其中 $t_2(S)$ 是超越动机。因此动机 $h(X)$ 是有限维的当且仅当 $S$ 具有有限维动机。如果 $X$ 是非常一般的，则 $t(X)$ 不能同构于曲面的（扭曲）超越动机。我们将同构 $t(X) \cong t_2(S)(1)$ 的存在性与 Hassett 和 Kuznetsov 关于特殊三次四维流形有理性的猜想联系起来。最后我们考虑承认以 $\mathbf{P}^2$ 为基、纤维为二次曲面或 6 次 del Pezzo 曲面的三次四维流形 $X$，并证明同构 $t_2(S)(1) \cong t(X)$，其中 $S$ 为 K3 曲面。