曲线的对称平方与 Petri 映射

设 $\M_g$ 为亏格 $g$ 的复射影非奇异曲线的粗模空间。我们证明，当 Brill-Noether 数 $\rho(g,1,n)$ 非负时，Petri 轨迹 $P^1_{g,n}\subset \M_g$ 具有一个除子分量，其闭包与 $\Delta_0$ 的交集非空。为证明该结果，我们表明参数化曲线 $\Gamma$ 上 $n$ 次线束的概型 $G^1_n(\Gamma)$ 同构于 Hilbert 概型的一个分量，该分量参数化 $\Gamma$ 的对称平方 $\Gamma_2$ 上的某些曲线，并研究了这类曲线族的性质。