条件 Galton-Watson 树的子树大小幂和

我们研究条件 Galton-Watson 树上的加性泛函 $X_n(\alpha)$，对任意复 $\alpha$，由对所有子树大小的 $\alpha$ 次幂求和给出。允许复 $\alpha$ 是有利的，即便对于实 $\alpha$ 的研究，因为这允许我们在证明中使用解析函数理论的强有力结果。对 $\Re\alpha < 0$，我们证明适当标准化的 $X_n(\alpha)$ 具有复正态极限分布；此外，作为 $\alpha$ 中的过程，弱收敛在左半平面解析函数空间中成立。我们建立并证明了复平面各区域中 $\alpha$ 的极限分布结果的类似过程收敛推广。我们主要关注 $\Re\alpha > 0$ 的情形，对此适当标准化的 $X_n(\alpha)$ 具有非正态的极限分布，但在仅假设 $E[\xi] = 1$ 与 $0 < \mathrm{Var} [\xi] < \infty$ 时，不依赖于条件 Galton-Watson 树的后代分布 $\xi$。在对 $\xi$ 的一个弱额外矩假设下，我们证明收敛推广到所有阶的矩、通常与绝对及混合矩。至少当 $\Re\alpha > \frac12$ 时，极限随机变量 $Y(\alpha)$ 可表示为归一化布朗游程的函数。