实数线乘法铺砌的结构

假设 $\Omega, A \subseteq \RR\setminus\Set{0}$ 是两个集合，均包含正负元素，$\Omega$ 是勒贝格可测集，$A$ 是离散集。我们研究 $A \cdot \Omega$ 何时构成实数线的一个（乘法）铺砌，即几乎每个实数都可以唯一地表示为乘积 $a\cdot \omega$，其中 $a \in A$，$\omega \in \Omega$。我们既研究乘数集 $A$ 的结构，也研究铺砌块 $\Omega$ 的结构。在这两种情形下我们都得到了强有力的结果。这些结果在某种程度上类似于已知的关于实数线平移铺砌结构的结果。然而，由于集合 $A$ 和 $\Omega$ 中存在符号，增加了一层复杂性，这使得乘法铺砌大致等价于在更大的群 $\ZZ_2 \times \RR$ 上的平移铺砌。