无穷调和函数的流线遵循反平均曲率流

给定域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ 上的 $\infty$-调和函数 $u_\infty$，考虑函数 $w = -\log |\nabla u_\infty|$。若 $u_\infty \in C^2(\Omega)$ 且 $\nabla u_\infty \neq 0$ 以及 $\nabla |\nabla u_\infty| \neq 0$，则易验证：(1) $u_\infty$ 的流线是 $w$ 的水平集；(2) $w$ 求解反平均曲率流的水平集方程。对于正则性较弱的解，一般而言这两个陈述都不成立，但即便如此，在更弱的假设下 $w$ 仍是反平均曲率流的弱解。这通过用 $p$-调和函数逼近 $u_\infty$、利用共轭 $p'$-调和函数，以及后两者与反平均曲率流的已知联系得以证明。作为副产物，得到了关于 $|\nabla u_\infty|$ 正则性的一条结论。