正曲率齐性空间的稳定逆向灵魂问题

稳定逆向灵魂问题（SCSQ）询问：给定紧流形上的实向量丛$E$，某个稳定化$E\times\R^k$是否容许具有非负（截面）曲率的度量。我们推广先前结果，表明对于所有正曲率的单连通齐性流形上的实向量丛，SCSQ有肯定答案，除Berger空间$B^{13}$可能例外。在此过程中，我们表明对于维数不超过七的所有单连通齐性空间、任意单连通紧秩一对称空间的维数为四的倍数的乘积、以及某些球面的乘积，同样成立。此外，我们观察到SCSQ在切同伦等价下是“稳定的”：如果它对某流形$M$上所有向量丛有肯定答案，则对任何与$M$切同伦等价的流形也同样成立。我们的主要工具是拓扑K理论。在$B^{13}$上，本质上存在一类我们的方法失效的稳定实向量丛。