平方根律在存在零因子的情况下不成立

设$R$是一个有限环（有单位元，不一定交换），定义抛物面$P = \{(x_1, \dots, x_d)\in R^d|x_d = x_1^2 + \dots + x_{d-1}^2\}.$ 假设对于一列大小趋于无穷的有限环，$P$的傅里叶变换满足形如$|\hat{P}(\chi)|\leq C|R|^{-d}|P|^\frac{1}{2}$的平方根律，其中$C$是某个固定常数（例如，如果$R$是有限域，则该界成立且$C=1$）。那么除了有限多个环之外，其余都是域。我们的论证在更一般的情况下也成立：设$f$是一个具有整数系数的$d-1$元多项式，具有固定的变量乘法顺序（因此即使$R$非交换，它也定义了一个函数$R^{d-1}\rightarrow R$），并设$V_f = \{(x_1, \dots, x_d)\in R^d|x_d = f(x_1, \dots, x_{d-1})\}$。如果（对于一列大小趋于无穷的有限环）$V_f$的傅里叶变换满足平方根律，那么除了有限多个环之外，其余都是域或小维数的矩阵环。我们还描述了我们的技术如何让我们看到某些簇即使在有限域上也不满足平方根律。