平方根律与有限环的结构

设 $R$ 为有限环，定义双曲线 $H=\{(x,y) \in R \times R: xy=1 \}$。假设对于一列阶为奇数且大小趋于无穷的有限环，存在常数 $C>0$ 使得对所有 $R^2$ 上的非平凡特征 $\chi$ 满足以下“平方根律”界：$$\left| \sum_{(x,y)\in H}\chi(x,y)\right|\leq C\sqrt{|H|}.$$ 那么，除有限个例外，这些环都是域。对于偶数阶环，我们证明存在由布尔环和布尔扭曲给出的其他无穷族也满足该平方根律行为。我们分类了极值环，即上述表达式左端满足最坏可能估计的那些环。我们还描述了我们的结果在图论和几何组合学问题中的应用。这些结果建立了数论中的平方根律、Salem集、Kloosterman和、几何组合学以及底层环的算术结构之间的定量联系。