有限域上矩阵环的凯莱有向图

我们利用矩阵环上的单位图与特殊单位有向图证明：当 $n>1$ 时，$\Bbb F_q$ 上的每个 $n \times n$ 非零矩阵均可写成两个 $\operatorname{SL}_n$-矩阵之和。我们计算了这些图的特征值（用 Kloosterman 和表示）并研究了它们的谱性质；并且证明：若 $X$ 是 $\operatorname{Mat}_2 (\Bbb F_q)$ 的子集且大小 $|X| > \frac{2 q^3 \sqrt{q}}{q - 1}$，则对任意 $\alpha \in \Bbb F_q^{\ast}$，$X$ 包含至少两个不同矩阵，其差行列式为 $\alpha$。利用此结果，我们还证明了一个和积型结果：若 $A,B,C,D \subseteq \Bbb F_q$ 满足当 $q \rightarrow \infty$ 时 $\sqrt[4]{|A||B||C||D|}= \Omega (q^{0.75})$，则 $(A - B)(C - D)$ 等于整个 $\Bbb F_q$。特别地，若 $A$ 是 $\Bbb F_q$ 的子集且基数 $|A| > \frac{3} {2} q^{\frac{3}{4}}$，则子集 $(A - A) (A - A)$ 等于整个 $\Bbb F_q$。我们还重新得到一个经典结果：任意奇阶有限环中的每个元素均可写成两个单位之和。