交换环的小 finitistic 维数 III

交换环 R 的小 finitistic 维数 fPD$(R)$ 定义为具有有限射影分辨率的 R 模块的射影维数的上确界。在本文中，我们证明了交换环 R 的 fPD$(R)\leq d$ 当且仅当对于任意有限生成理想 I，如果 $Ext_R^i(R/I,R)=0$ 对每个 $i=0,\dots,d$，则 $Ext_R^i(R/I,R)=0$ 对所有 $i\geq 0$。作为应用，我们得到，对于任意交换环 R，都有 fPD$(R)\leq \mbox{FP-}$Id$_R$R，即 R 的自 FP-injective 维数。我们还给出了这些结果关于 (弱) $(n,d)$-环、DW 环和 Prufer 类型环的一些应用。