作为测地线方程的SQG方程

我们证明由 $$\theta_t + \left<u, \nabla \theta\right>= 0,\;\;\; \theta = \nabla \times (-\Delta)^{-1/2} u,$$ 给出的表面准地转 (SQG) 方程是 Riemann 流形 $M$ 上保体积微分同胚群在右不变 $\dot{H}^{-1/2}$ 度量下的测地线方程。我们通过例子表明，Riemann 指数映射是光滑且非 Fredholm 的，并且单位元处的截面曲率在正负两侧均无界。