谱投影差分的谱密度

设 $H_0$ 和 $H$ 为满足散射理论一些标准假设的一对自伴算子。先前的工作已知，如果 $\lambda$ 属于 $H_0$ 和 $H$ 的绝对连续谱，则谱投影的差分 $$D(\lambda)=1_{(-\infty,0)}(H-\lambda)-1_{(-\infty,0)}(H_0-\lambda)$$ 通常不是紧算子，并具有非平凡的绝对连续谱。在本文中，我们考虑 $D(\lambda)$ 的紧近似 $D_\varepsilon(\lambda)$，其由 $$D_\varepsilon(\lambda)=\psi_\varepsilon(H-\lambda)-\psi_\varepsilon(H_0-\lambda)$$ 给出，其中 $\psi_\varepsilon(x)=\psi(x/\varepsilon)$，且 $\psi(x)$ 是一个光滑实值函数，当 $x\to\pm\infty$ 时趋于 $\mp1/2$。我们证明了当 $\varepsilon\to+0$ 时，$D_\varepsilon(\lambda)$ 的特征值集中到 $D(\lambda)$ 的绝对连续谱上。我们表明集中速率与 $|\log\varepsilon|$ 成正比，并给出了这些特征值渐近密度的显式公式。结果表明，该密度与 $\psi$ 无关。证明依赖于对 Hankel 算子的分析。