被高维随机势景观钉扎的流形：全局能量极小处的 Hessian 矩阵

我们考虑一个内禀维数为 $d$、长度为 $L$ 的弹性流形，其被钉扎于 $N$ 维随机势中，并受曲率 $\mu$ 的附加抛物势约束。我们关注总能量绝对极小值处 Hessian 矩阵 $K$ 的平均谱密度 $\rho(\lambda)$。我们使用副本方法推导固定 $L^d$ 在 $N \to \infty$ 极限下 $\rho(\lambda)$ 的方程组，推广了我们先前工作中 $d=0$ 的结果。我们特别致力于通过分析令 $L\to \infty$ 来研究扩展晶格系统的极限。在所有情况下，我们表明对于超过临界值 $\mu_c$（即所谓“Larkin 质量”）的约束曲率 $\mu$，系统是副本对称的，且 Hessian 谱总是有隙的（距零）。该隙在 $\mu\to \mu_c$ 时以二次方式消失。对于 $\mu<\mu_c$，发生副本对称性破缺（RSB），且 Hessian 谱要么有隙要么延伸至零，取决于 RSB 是 1 步还是完全的。在 1-RSB 情形下，在所有 $d$ 中隙在转变附近以 $(\mu_c-\mu)^4$ 消失。在完全 RSB 情形下，隙恒为零。一组特定的景观在 $d=1,2$ 中实现了所谓的“边缘情形”，其同时具有 1 步与完全 RSB 解的特征，并表现出某种标度不变性。我们还获得了与 Hessian 相关的平均 Green 函数，并发现其在谱边缘处以流形内禀空间中的距离指数衰减，在所有情形下其长度尺度均等于钉扎理论中引入的 Larkin 长度。