随机势中定向聚合物的平衡态指数数量与脱钉阈值

通过将Kac-Rice方法扩展到有限内维流形，我们证明了在维度$d=1+1$中限制于谐波势阱并受淬灭随机高斯势作用的弹性线（定向聚合物）的所有可能平衡态（即无力构型，亦称平衡点）的平均数量$\left\langle\mathcal{N}_\mathrm{tot}\right\rangle$随其长度$L$指数增长$\left\langle\mathcal{N}_\mathrm{tot}\right\rangle\sim\exp{(r\,L)}$。发现增长率$r$与广义李雅普诺夫指数（GLE）直接相关，GLE是一个矩生成函数，表征与一维安德森局域化问题的随机薛定谔算符相关的初值问题解的大偏差型涨落。对于强限制，速率$r$很小，并由GLE的非微扰（瞬子，Lifshitz尾类）贡献给出。对于弱限制，发现速率$r$与钉扎理论的逆拉金长度成正比。作为应用，将脱钉识别为景观“拓扑平凡化”现象，我们获得了在施加力存在下弹性线和$d$维流形的脱钉阈值$f_c$的上界，该上界通过具有随机势的拉普拉斯算符的谱行列式平均模表示。我们还讨论了稳定平衡态计数问题。最后，我们扩展了该方法以计算固定能量（弹性、势和总能量）下的平衡态渐近数量，并获得了这些平衡态（即无力构型）上能量密度的（退火）分布。还建立了与拉金模型的一些联系。