高维空间中的平面波叠加：从景观复杂性到最深最小值

在本文中，我们介绍并分析了一类随机景观模型的统计性质，其形式为 ${\cal H}({\bf x})=\frac{\mu}{2}{\bf x}^2+\sum_{l=1}^M \phi_l({\bf k}_l\cdot {\bf x}), \, \, {\bf x}\in \mathbb{R}^N,\,\, \mu>0$，其中函数 $\phi_l(z)$ 和向量 ${\bf k}_l$ 都是随机的。这种景观的一个重要例子描述了 $M$ 个具有随机振幅、波矢方向和相位的平面波的叠加，并进一步受到曲率为 $\mu$ 的抛物势的限制。我们的主要工作致力于分析在 $N\to \infty, M\to \infty$ 且保持 $\alpha=M/N$ 有限的极限下的景观特征。在这样的极限下，我们找到了 (i) 所有临界点和局部极小值平均数量的指数增长速率（称为退火复杂度），以及 (ii) 最深景观最小值（基态能量）平均值的表达式。特别地，对于后者，我们推导了一个类似Parisi的优化泛函，并分析了优化器反映不同 $\mu$ 和 $\alpha$ 值下各种相的条件：复制对称、一步和完全复制对称破缺，以及不同相之间连续转变、Gardner转变和随机一级转变的判据。