高维随机势地形全局极小处的 Hessian 谱

利用副本方法，我们计算了随机 $N \gg 1$ 维各向同性、平移不变高斯随机势地形在由固定曲率 $\mu>0$ 的抛物势约束下的全局极小处 Hessian 矩阵的平均谱密度。对于 $\mu>\mu_{c}$，典型为一般仅有一个极小值的简单势地形，我们证明全局极小处的 Hessian 始终为{\it 有隙的}，其低谱边严格为正。当从上方逼近将简单势地形与具有指数丰富极小值的“玻璃态”势地形分开的过渡点 $\mu= \mu_{c}$ 时，谱隙以 $(\mu-\mu_c)^2$ 消失。对于 $\mu<\mu_c$，Hessian 谱在“中等复杂”与“真正复杂”势地形中有质的不同。前者对于短程相关随机势典型，对应于一步副本对称破缺机制。其 Hessian 谱再次为有隙的，隙在从下方逼近 $\mu_c$ 时以更大的临界指数 $(\mu_c-\mu)^4$ 消失。同时，在具有长程幂律相关的“最复杂”势地形中副本对称完全破缺。我们证明该情况下 Hessian 对所有 $\mu<\mu_c$ 保持无隙，表明存在“边际稳定”空间方向。最后，具有{\it 对数}相关的势地形兼具 1RSB 性质与无隙谱。Hessian 的谱密度总取半圆形，除我们显式计算的平移与振幅外。